Logica Matematica
PERSONE
ESTERNI
Mauro Di Nasso
LINEE GENERALI DI ATTIVITA'
Diverse teorie di insiemi e classi e Modelli e metodi non standard (con applicazioni ad analisi e teoria dei numeri).
1. TEORIA DEGLI INSIEMI
Consideriamo una nozione "euclidea" di numerosità, teorie non standard degli insiemi e classi di ultrafiltri occorrenti nei relativi modelli.
1.1. Misure (dette numerosità) per insiemi infiniti, che soddisfino i tradizionali principi di Euclide sulle grandezze, introdotte e studiate in [BD3] solo per "insiemi etichettati", poi in [2,1] per insiemi più generali. Le numerosità costituiscono un semianello positivo, con somma e prodotto corrispondenti a unione disgiunta e prodotto cartesiano, e sono anzi numeri non standard ottenibili da speciali ultrafiltri, la cui esistenza è indipendente da ZFC. Studiamo teorie delle numerosità che affrontino positivamente i problemi sulla relazione d'ordine e sulla sottrazione posti in [2,1]. Considereremo insiemi di ordinali, dove sia più semplice identificare trasformazioni naturali che, rispettando la loro struttura algebrica e geometrica, permettano isolare ampie classi naturali di applicazioni biunivoche che preservino la numerosità.
1.2. L'assiomatizzazione in teoria degli insiemi dei metodi non standard ha portato a formulare varie teorie non standard di insiemi e classi. Il problema della consistenza di tali teorie è connesso con ipotesi di grandi cardinali, e precisamente con l'esistenza di ultrafiltri non regolari. Intendiamo formulare teorie non standard di insiemi e classi (che estendano la teoria *ZFC di [DN02]), in cui ogni insieme abbia un'estensione non standard, indagando in quel contesto le diverse connessioni con proprietà di grandi cardinali.
Più in generale, nell'impostazione di [8], intendiamo cercare proprietà consistenti "massimali" di comprensione, in particolare, preservando la complementazione generale, intendiamo formulare una teoria che includa unione ed intersezione generalizzata. Una tale teoria dovrebbe rendere possibile un'estensione non standard dell'intero universo ben fondato che soddisfi la forma forte di saturazione della teoria IST di Nelson, mantenendo tutti gli insiemi esterni (questo obbiettivo è una guida di massima per graduali approssimazioni).
1.3. Classi speciali di ultrafiltri emergono dalla costruzione di modelli non standard. E.g. le numerosità di [BD3] richiedono ultrafiltri selettivi, mentre le estensioni non standard di [4] danno origine ultrafiltri, detti di Hausdorff in [4] e studiati in [1], che generano ultrapotenze senza indiscernibili (ove punti diversi hanno 1-tipi diversi). Siamo investigando le proprietà insiemistiche e modelteoretiche degli ultrafiltri di Hausdorff in [4]In particolare il problema dell'indipendenza da ZFC della loro esistenza.
Stiamo isolando altre classi di ultrafiltri (ultrafiltri Euclidei, non ristretti al caso numerabile) necessari per la costruzione di insiemi di "buone numerosità".
Intendiamo anche studiare le connessioni fra ultrafiltri su N e problemi in teoria combinatoria e di Ramsey (in parte considerati in [6]). Anche la semplice riformulazione di problemi combinatori o proprietà di ultrafiltri (che sono tipicamente proprietà del secondo ordine) come proprietà del primo ordine di elementi nonstandard, dovrebbe permettere di affrontare tali problemi da un nuovo punto di vista e con nuovi strumenti.
2. METODI E MODELLI NON STANDARD
Consideriamo approcci fondazionali elementari, modelli nonstandard con particolari proprietà del 2∞ ordine e applicazioni in analisi e aritmetica.
2.1. Molte introduzioni ai metodi nonstandard tese a semplificare l'argomento sono state proposte dopo l'originale presentazione di Robinson. Intendiamo fornire presentazioni "elementari" dei metodi non standard, basate su tecniche matematiche usuali, che non richiedano nozioni logico-matematiche, pur fornendo un quadro naturale e potente. Il nostro contributo dell'ultimo decennio Ë riassunto in [5], ove diamo otto diverse presentazioni "elementari" nel linguaggio matematico ordinario, senza ricorso a nozioni logiche. Stiamo anche ultimando un volume ove si segue l'approccio algebrico di [BD4].
2.2. Lo studio dei modelli non standard presenta argomenti interessanti, in particolare la struttura della retta iperreale. In [7] consideriamo l'ordine e le topologie naturali di *R, mentre in [D1],[DH] introduciamo vari principi combinatori. Prosegue lo studio dell'ordinamento e delle topologie naturali della retta reale non standard, affrontando alcuni dei problemi lasciati aperti in [7]. Intendiamo anche considerare altre proprietà del 2∞ ordine dette "principi di saturazione forte", affrontando quelle questioni aperte in [DH] che non sono state risolte dai recenti lavori di R. Jin.
2.3. I metodi dell'analisi non standard sono abbastanza generali da avere applicazioni in molti campi della matematica. Noi stiamo ricercando algebre di funzioni generalizzate che includano le distribuzioni e siano chiuse per convoluzione, trasformata di Fourier e prodotto per funzioni C^infinito, per avere un ambiente adatto per trattare vari problemi di analisi non lineare, estendendo e rafforzando le tecniche di Todorov.
Nello stile di R. Jin intendiamo anche applicare tecniche non standard allo studio di problemi di densità asintotica di successioni.
PUBBLICAZIONI
1. BENCI V, DI NASSO M, FORTI M. (2007). An Euclidean Measure of Size for Mathematical Universes. LOGIQUE ET ANALYSE. vol. 50 ISSN: 0024-5836.
2. V. BENCI, M. DI NASSO, FORTI M. (2006). An Aristotelian notion of size. ANNALS OF PURE AND APPLIED LOGIC. vol. 143, pp. 43-53 ISSN: 0168-0072.
3. DI NASSO M., FORTI M. (2006). Hausdorff Ultrafilters. PROCEEDINGS OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY. vol. 134, pp. 1809-1818 ISSN: 0002-9939.
4. DI NASSO M., FORTI M. (2005). Topological and Nonstandard Extensions. MONATSHEFTE FUER MATHEMATIK. vol. 144, pp. 89-112 ISSN: 0026-9255.
5. BENCI V, DI NASSO M, FORTI M. (2006). The eightfold path to Nonstandard Analysis. In: N.J. CUTLAND, M. DI NASSO, D.A. ROSS EDS. Nonstandard Methods and Applications in Mathematics. (pp. 3-44). Lecture Notes in Logic 25. : A.S.L. - A.K. Peters (UNITED STATES).
[BD4] V.Benci,M.Di Nasso: A purely algebraic characterization of the hyperreal numbers, Proc.AMS 133 (2005),2501-05.
6. DI NASSO M., FORTI M. (2005). Ultrafilter semirings and nonstandard submodels of the Stone-Cech compactification of the natural numbers. In: A. BLASS, YI ZHANG EDS. Logic and its application on algebra and geometry. (pp. 45-51). Contemporary Mathematics, vol. 380. PROVIDENCE, R.I.: Amer. Math. Soc. (UNITED STATES).
[BD3] V.Benci,M.Di Nasso: Numerosities of labelled sets, Adv.Math. 173 (2003),50-67
[BD3b] V.Benci,M.Di Nasso: Alpha-Theory: an elementary axiomatics for nonstandard analysis, Expo.Math. 21 (2003),355-386.
[DH] M.Di Nasso,K.Hrbacek: Combinatorial principles in nonstandard analysis, APAL 119 (2003),265-93
7. DI NASSO M., FORTI M. (2002). On the Ordering of the Nonstandard Real Line. In: YI ZHANG, ED. Logic and Algebra. (pp. 259-274). Contemporary Mathematics 302. PROVIDENCE, R.I.: Amer. Math. Soc. (UNITED STATES).
8. BENCI V., DI NASSO M., FORTI M. (2002). Hausdorff Nonstandard Extensions. BOLETIM DA SOCIEDADE PARANAENSE DE MATEMATICA. vol. 20, pp. 9-20 ISSN: 0037-8712.
[D2] M.Di Nasso: An axiomatic presentation of the nonstandard methods, JSL 67 (2002),315-25
[D1] M.Di Nasso: The generic filter property in nonstandard analysis, APAL 111 (2001),23-37
9. FORTI M. (2001). Strongly comprehensive theories of collections and sets. In: M. CRABBE', C. MICHAUX, F. POINT EDS. A Tribute to Maurice Boffa (1939-2001). (pp. 121-132). Special issue of the Bull. Belg. Math. Soc.
