Metodi matematici per reti elettriche e sistemi lineari

Il progetto di una rete lineare è normalmente effettuato utilizzando in una prima fase modelli ideali per dispositivi quali opamp, CFA, trasformatori, CCII etc., per sintetizzare una rete ideale che soddisfa specifiche assegnate. Poi, per ciascuno di tali dispositivi viene adottato un modello non ideale specificato da parametri che descrivono caratteristiche del dispositivo precedentemente idealizzate; questi modelli sono introdotti nella rete ideale al posto dei corrispondenti modelli ideali, ottenendo così una rete dipendente da parametri. Infine, si ricercano valori per i parametri dei modelli non ideali in modo che la rete risultante abbia un comportamento ancora soddisfacente.

Questo procedimento è basato sulla speranza−supportata dall’esperienza e da alcuni esempi teorici−che utilizzando valori sempre più grandi dei parametri, si ottengano reti il cui comportamento, quando stabile, è sempre più simile a quello ideale.

Lo scopo della ricerca, è quello di fornire un fondamento teorico alla suddetta speranza, tenendo presente che i valori effettivi dei parametri associati con i modelli non ideali sono impredicibili a causa della loro natura fisica, e solo valori nominali e tolleranze possono essere specificati.

Il fondamento teorico consta dello studio di due problemi.

Il primo problema è quello di decidere se vi siano−e, in caso affermativo, trovare−valori nominali arbitrariamente grandi per i parametri e opportune tolleranze tali che, quali che siano i valori effettivi dei parametri, le reti risultanti siano stabili. I risultati conseguiti relativamente a questo problema sono stati pubblicati in [1].

Il secondo problema è quello di confrontare il comportamento nel tempo delle reti effettive con quello della rete ideale. In [2] è stato provato che quando la rete ideale è stabile e le eccitazioni sono causali e distribuzionali o infinitamente derivabili, la risposta forzata della rete effettiva converge a quella della rete ideale nel senso delle distribuzioni o, rispettivamente, uniformemente sui compatti. Questi risultati di convergenza non sono completamente soddisfacenti. Per esempio non consentono di studiare la convergenza uniforme sull'intero asse dei tempi per eccitazioni causali, infinitamente derivabili e definitivamente periodiche, nè consentono di studiare problemi nei quali il comportamento per tempi lunghi presenta qualche interesse−ad esempio in problemi di sincronizzazione. In [3] viene provato che per un'ampia classe di eccitazioni causali infinitamente derivabili− comprendente quella delle eccitazioni definitivamente periodiche−se la rete ideale è stabile e il primo problema ha risposta affermativa con una tolleranza che resta invariata al crescere dei valori nominali dei parametri, allora, quando i valori nominali diventano sempre più grandi, e quali che siano i valori effettivi dei parametri−compatibilmente con la data tolleranza−la risposta forzata delle reti effettive converge a quella della rete ideale uniformemente sull'intero asse dei tempi.

Problemi relativi all'esistenza ed unicità di soluzioni per una rete ottenuta connettendo sorgenti indipendenti, resistenze ed elementi non lineari sono stati ampiamente studiati da vari autori, principalmente I. W. Sandberg e A. N. Willson Jr. Precisamente, quando gli elementi non lineari sono transistor e diodi, questi autori hanno studiato e risolto il problema dell'esistenza ed unicità di soluzioni per ogni caratteristica permessa agli elementi non lineari ed ogni valore delle sorgenti.

Per il caso in cui gli elementi non lineari siano opamp con modello ideale, in [4] viene enunciata e dimostrata la riposta condizione necessaria e sufficiente per l'esistenza ed unicità di soluzioni per ogni valore della tensione di saturazione di uscita degli opamp ed ogni valore delle sorgenti.

Nell articolo "Causality and the impulse response scandal" (IEEE Trans. Circuits Syst., vol. 50, 810 811, 2003), I. Sandberg ha mostrato che anche se un sistema lineare, continuo e tempo-invariante ammette una risposta impulsiva, tale risposta non sempre consente una descrizione completa del sistema. In [5], si utilizza un teorema di L. Schwartz per dare una definizione di risposta impulsiva valida sotto ipotesi piuttosto ampie (e che comprendono il caso  classico considerato da Sandberg), e per capire cosa abbiano in comune due sistemi con la stessa risposta impulsiva. I risultati ottenuti sono utilizzati per dare una panoramica di sistemi (significativa di per sè e come guida per l'analisi) che, a parte tre classi eccezionali, risultano tutti completamente descritti dalle rispettive risposte impulsive. Riguardo la prima classe di eccezioni, sono noti controesempi trovati da Sandberg; per le altre due, si sono ricavati controesempi utilizzando i risultati di Sandberg.

In [6] si prova che ogni sistema lineare continuo e tempo-invariante L definito o su funzioni L^p o su distribuzioni D'_L^p (1 ≤ p ≤ ∞ ) ammette una risposta impulsiva Δ in D'_L^p' (1 ≤ p' ≤ ∞ , 1/p + 1/p' = 1) e si utilizza l'estensione di Schwartz della usuale nozione di prodotto di convoluzione per funzioni L^p alle distribuzioni D'_L^p per provare che (a parte alcune eccezioni per p = ∞ ) per ogni f in L^p o in D'_L^p si ha
L(f) = Δ * f. Infine, con un esempio, si prospettano applicazioni dei risultati alle equazioni differenziali lineari.